Series y sumatorias para el examen de admisión

Se define el operador $\Delta$ como $\Delta(x+1)=\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}$. Si $\Delta(1)+\Delta(2)+\Delta(3)+\ldots+\Delta(n)=\dfrac{6}{13}$, calcule el valor de $n$.

Un sacerdote decide dar regalos por Navidad a los niños y niñas de un pueblo. Para ello hará sonar una vez la campana cada cuatro minutos y repartirá los juguetes de la siguiente manera: primera campanada, un juguete; segunda campanada, dos juguetes, tercera campanada, tres juguetes; y así sucesivamente. Si el sacerdote repartirá los juguetes desde las 8:00 a. m. hasta las 12:00 m. y si se sabe además que entregará un solo juguete a cada niño o niña, ¿cuántos niños y niñas en total, como máximo, recibirán juguetes?