Números complejos para el examen de admisión

¿Cuál es la relación entre los números reales $x$ e $y$, de tal manera que el número complejo

$$z=\frac{3x-4i}{5+yi}$$

sea un número imaginario puro?

Dados los números complejos $z_{1}=3+2i$ y $z_{2}=4+i$, determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones: I. El producto de ambos es $z_{1}\cdot z_{2}=10+11i$ II. El módulo de la diferencia de ellos es $\|z_{2}-z_{1}\|=\|-1-i\|=\sqrt{2}$ III. La suma de sus conjugados es $\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}=-7-3i$ IV. El cociente de ambos es $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{3}{4}+2i$