Perímetros de regiones planas para el examen de admisión

Un hacendado compra un terreno en forma de hexágono regular de área total $18\sqrt{3}$ m$^{2}$. Luego se cerca el terreno que se encuentra dentro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de los lados consecutivos del terreno original. Una vez cercado el terreno, contrata a un pintor para pintar la parte exterior del cerco que tiene 2 m de altura. Sabiendo que 1 galón de pintura alcanza para 4 m$^{2}$, determine la cantidad de galones que se necesitan para pintar lo solicitado por el hacendado.

En la figura se muestra un alambre de longitud $r$ y un polígono regular de $n$ lados y longitud de lado $L$. Si el punto $P$ gira en el sentido indicado, formando arcos de circunferencias hasta envolver una sola vez todo el contorno de la región poligonal, entonces ¿cuál es la longitud que recorre el punto $P$?